∀X,ℱ(⟨ℱ⟩X⊆ℱ⇔∀F1,F2∈2^X(F1∩F2∈ℱ⇒F1,F2∈ℱ))

$ \forall X,\mathcal F:\left(\lang\mathcal F\rang_X\subseteq\mathcal F\iff\forall F_1,F_2\in2^X:(F_1\cap F_2\in\mathcal F\implies F_1,F_2\in\mathcal F)\right)

proof

(L)⇒(R)

$ \forall X,\mathcal F:

$ \lang\mathcal F\rang_X\subseteq\mathcal F

$ \implies\lang\mathcal F\rang_X\subseteq\mathcal F\cap2^X

$ \because\lang\mathcal F\rang_X\subseteq2^X

$ \iff\lang\mathcal F\rang_X=\mathcal F\cap2^X

$ \implies\forall F_1,F_2\in2^X:(F_1\cap F_2\in\mathcal F\cap2^X\implies F_1,F_2\in\mathcal F\cap2^X)

$ \underline{\implies\forall F_1,F_2\in2^X:(F_1\cap F_2\in\mathcal F\implies F_1,F_2\in\mathcal F)\quad}_\blacksquare

(R)⇒(L)

$ \forall X,\mathcal F:

$ \forall F_1,F_2\in2^X:(F_1\cap F_2\in\mathcal F\implies F_1,F_2\in\mathcal F)

$ \implies\forall F:

$ F\in\lang\mathcal F\rang_X

$ \iff F\in2^X\land\exist F'\subseteq F:F'\in\mathcal F

$ \iff F\in2^X\land\exist F':F'=F'\cap F\in\mathcal F

$ \implies\exist F':F',F\in\mathcal F

$ \implies F\in\mathcal F

$ \underline{\implies\lang\mathcal F\rang_X\subseteq\mathcal F\quad}_\blacksquare